Jak zamodelować butelkę Kleina w SOLIDWORKS?

Butelka Kleina – dziwna butelka bez wnętrza i zewnętrza

Butelka Kleina to interesujący obiekt matematyczny, który zdaje się łamać zasady zdrowego rozsądku. Przypomina butelkę, ale jej szyjka zawraca, przechodzi przez ścianę i łączy się z wnętrzem dna – tak, że nie da się już powiedzieć, co jest na zewnątrz, a co wewnątrz.

To trochę jak taśma Möbiusa – pasek papieru, który po skręceniu i sklejeniu tworzy powierzchnię z jedną stroną. Butelka Kleina robi coś podobnego, ale w trzech wymiarach. Tyle, że w naszym świecie nie da się jej zbudować w 100% poprawnie – zawsze musi się przeciąć sama ze sobą. Dopiero w czterowymiarowej przestrzeni mogłaby istnieć naprawdę, bez przecinania się powierzchni.

To nie tylko matematyczna ciekawostka. Butelka Kleina pokazuje, że przestrzeń
i powierzchnie mogą zachowywać się zupełnie inaczej, niż jesteśmy przyzwyczajeni. Pomaga naukowcom lepiej zrozumieć kształty, przestrzenie, wszechświat.. a może też kompletnie przestać go rozumieć…

Właściwości

• Ma tylko jedną stronę – nie da się odróżnić wnętrza od zewnętrza.
• Nie ma krawędzi ani otworu – jej powierzchnia jest ciągła i zamknięta.
• Nieorientowalna – nie można przypisać jej jednoznacznej „góry” i „dołu” w całej strukturze.
• Nie może być poprawnie przedstawiona w trzech wymiarach bez przecinania się samej ze sobą – jej „czysta” forma istnieje dopiero w czterowymiarowej przestrzeni.

W niniejszym artykule przedstawię Państwu prosty sposób na zaprojektowanie tego kształtu w SOLIDWORKS, a przy okazji zwrócę uwagę na ciekawe aspekty modelowania wielobryłowego i powierzchniowego.

1. Szkice 2D

Na płaszczyźnie przedniej utworzono szkic, składający się z lini prostej oraz splajnu stylu. Będzie on służył jako fragment linii środkowej w wyciągnięciu po profilach oraz jako fragment ścieżki w wyciągnięciu po ścieżce.



Następnie na płaszczyźnie górnej utworzono szkic okręgu o średnicy 45 mm ze środkiem
w początku układu współrzędnych. To będzie dolna szerokość butelki. Jako drugi profil do wyciągnięcia po profilach stworzono płaszczyznę równoległą do płaszczyzny górnej oraz przechodzącą przez punkt splajnu, a tam okrąg o średnicy 6mm.

Dodatkowo w celu kontroli kształtu utworzono pomiędzy nimi odsuniętą płaszczyznę od górnej płaszczyzny o 25mm oraz naszkicowano tam okrąg o średnicy 15mm. Szkice prezentują się następująco:



2. Powierzchnia wyciągnięta po profilach (1)

W tej operacji wybrano kolejno szkice od największego do najmniejszego. Ustawiono parametry powiązań początkowego oraz końcowego zgodnie z poniższym obrazkiem. Dodatkowo wskazano za pomocą menedżera wyboru pionową linię środkową. Zatwierdzono operację.



3. Powierzchnia wyciągnięta po ścieżce

Tutaj również wykorzystano menedżer wyboru – w tej sytuacji do określenia ścieżki. Ścieżką został splajn, fragment wcześniej utworzonego szkicu. Profil kołowy o średnicy 6mm. Operację zatwierdzono oraz wszystkie szkice ukryto.



4. Powierzchnia wyciągnięta po profilach (2)

Utworzono kolejną powierzchnię wyciągniętą po profilach, ale jako profile wybrane zostały krawędzie wcześniej utworzonych powierzchni. Dzięki takiemu zabiegowi w powiązaniach możliwe było ustawienie styczności do należących ściań – długość wektora 1.4 w obu przypadkach. Zatwierdzono operację.

Przytnij powierzchnię

W celu lepszej widoczności utworzono Widok przekroju na płaszczyźnie przedniej. Następnie wybrano narzędzie Przytnij powierzchnię, jako narzędzie przycięcia wskazano powierzchnię utworzoną poprzez wyciągnięcie po ścieżce (krok 3), skorzystano z opcji Usuń zaznaczone i wybrano obszar wewnętrzny wynikający z przecięcia się obydwu powierzchni.

1. Pogrub

W następnym kroku podjęto próbę zamiany obiektu powierzchniowego na obiekt bryłowy. W tym celu zastosowano operację Pogrub, jednak zwykłe pogrubienie wszystkich powierzchni w jednym kierunku nie przyniesie nam oczekiwanego rezultatu, czyli jednego scalonego obiektu bryłowego. Dzieje się tak właśnie z uwagi na topologię butelki Kleina. Najprościej można to zdefiniować wyobrażając sobie, że sklejamy ze sobą brzegi dwóch wstęg Möbiusa, której brzegi rzecz jasna muszą być obrócone o 180°, aby się ponownie połączyły, tworząc jedną zamkniętą powierzchnię.



W takiej sytuacji musimy skorzystać z opcji pogrubienia o 0,5mm w obydwu kierunkach dla wszystkich trzech obiektów powierzchniowych. Kolejność nie ma znaczenia, natomiast pamiętajmy o zaznaczeniu opcji Scalaj bryły. Ewentualnie można pominąć scalanie brył w operacji Pogrub i skorzystać z operacji Połącz z opcją Dodaj. Rezultat widoczny w przekroju:



2. Zaokrąglenia

W miejscu przecięcia się obydwu ścian dodano zaokrąglenie (wewnątrz oraz zewnątrz butelki) o promieniu 2mm.

Gotowe!